diff --git a/aufgaben/3/30000004.tex b/aufgaben/3/30000004.tex index 91cc30b..c5e07f6 100644 --- a/aufgaben/3/30000004.tex +++ b/aufgaben/3/30000004.tex @@ -50,7 +50,7 @@ mit einem Separationsansatz l"osen. Dazu schreibt man $u(x,y)=X(x)Y(y)$ und setzt in die Differentialgleichung ein: \begin{align*} -X'(x)Y(y)+yX(x)Y(y)&=0\\ +X'(x)Y(y)+yX(x)Y'(y)&=0\\ \Rightarrow\qquad \frac{X'(x)}{X(x)}&=-y\frac{Y'(y)}{Y(y)} \end{align*} Da die eine Seite nur von $x$, die andere nur von $y$ abh"angt, m"ussen diff --git a/aufgaben/3/30000011.tex b/aufgaben/3/30000011.tex index 23bc34e..bbd0dab 100644 --- a/aufgaben/3/30000011.tex +++ b/aufgaben/3/30000011.tex @@ -31,7 +31,7 @@ \dot x&=1 \label{30000011:x} \\ -\dot y&=\frac1{\sin x} +\dot y&=\frac1{\sin y} \label{30000011:y} \\ \dot u&=0 diff --git a/aufgaben/3/30000012.tex b/aufgaben/3/30000012.tex index e01fcd9..ba50c36 100644 --- a/aufgaben/3/30000012.tex +++ b/aufgaben/3/30000012.tex @@ -139,7 +139,7 @@ \] Beide Seiten m"ussen daher konstant sein, wir nennen die Konstante $k$. Wir m"ussen jetzt zwei gew"ohnliche Differentialgleichungen mit dem Paramter -$k$ l"osen, die aber sofort durch Integration gel"ost werden k"Onnen: +$k$ l"osen, die aber sofort durch Integration gel"ost werden k"onnen: \begin{align*} X'(x)&=\frac{k}{x}&&\Rightarrow&X(x)&=k\log x + C_x \\ Y'(y)&=-ky &&\Rightarrow&Y(y)&=-\frac{k}2y^2 + C_y diff --git a/aufgaben/4/40000010.tex b/aufgaben/4/40000010.tex index f857549..5ac00a9 100644 --- a/aufgaben/4/40000010.tex +++ b/aufgaben/4/40000010.tex @@ -6,7 +6,7 @@ auf dem Gebiet $\Omega=\{(x,t)\,|\, 00\}$ mit den Randbedingungen \begin{align*} -u(0,t)=u(\pi,0)&=0&&\text{f"ur $t > 0$}\\ +u(0,t)=u(\pi,t)&=0&&\text{f"ur $t > 0$}\\ u(x,0)&=\sin x&&\text{f"ur $0 1 \text{ und } t > 0\}$ eine L"osung der Differentialgleichung \begin{equation} -x^2\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial u}{\partial t}=0 +x^2\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial t}=0 \label{50000011:dgl} \end{equation} mit den Randbedingungen @@ -23,13 +23,13 @@ \begin{loesung} Die Laplace-Transformierte der Differentialgleichung~(\ref{50000011:dgl}) ist \begin{equation} -x^2\frac{\partial}{\partial x}{\cal L}u(x,s) + {\cal L}u(x,s) - u(x,0)=0. +x^2\frac{\partial}{\partial x}{\cal L}u(x,s) + s{\cal L}u(x,s) - u(x,0)=0. \end{equation} Der letzte Term f"allt wegen der zweiten Randbedingung weg. Wir schreiben $y_s(x)={\cal L}u(x,s)$, und suchen jetzt also eine L"osung der gew"ohnlichen Differentialgleichung \begin{equation} -x^2y_s(x) + sy_s(x)=0. +x^2y'_s(x) + sy_s(x)=0. \label{50000011:odgl} \end{equation} Die Anfangsbedingung von $y_s(x)$ f"ur $x=1$ entsteht durch diff --git a/aufgaben/6/60000001.tex b/aufgaben/6/60000001.tex index 34fbcb0..90d3caa 100644 --- a/aufgaben/6/60000001.tex +++ b/aufgaben/6/60000001.tex @@ -57,7 +57,7 @@ \] hat das charakteristische Polynom \[ -(1-\lambda)^2-\frac14=\lambda^2-2\lambda-\frac34 +(1-\lambda)^2-\frac14=\lambda^2-2\lambda+\frac34 \] mit den Nullstellen $\lambda_1=\frac32$ und $\lambda_2=\frac12$, diese Gleichung ist also elliptisch. diff --git a/aufgaben/8/80000001.tex b/aufgaben/8/80000001.tex index 584cfc5..5fb00af 100644 --- a/aufgaben/8/80000001.tex +++ b/aufgaben/8/80000001.tex @@ -77,14 +77,14 @@ X(x)= A(\mu)e^{\lambda_+(\mu)x} + -B(\mu)e^{\lambda_+(\mu)x} +B(\mu)e^{\lambda_-(\mu)x} \] Sie soll f"ur $x=0$ verschwinden, also \[ X(0)= A(\mu)e^{\lambda_+(\mu)\cdot 0} + -B(\mu)e^{\lambda_+(\mu)\cdot 0} +B(\mu)e^{\lambda_-(\mu)\cdot 0} =A(\mu)+B(\mu)=0 \] oder $B(\mu)=-A(\mu)$. Damit haben wir diff --git a/aufgaben/9/90000002.tex b/aufgaben/9/90000002.tex index 1b40480..6a93bd6 100644 --- a/aufgaben/9/90000002.tex +++ b/aufgaben/9/90000002.tex @@ -74,7 +74,7 @@ \frac{(1-x^2)(1\pm\sqrt{5})}{-2(1+x)^2} \\ &= -\-\frac{1-x}{1+x}\cdot\frac{1\pm\sqrt{5}}{2} +\-\frac{1-x}{1+x}\cdot\frac{1\pm\sqrt{5}}{-2} \end{align*} \item Die beiden Charakteristiken sind die L"osungen der Differentialgleichung